Par: Prof. Hubert de Guise

Département de Physique, Université Lakehead

Divers systèmes physiques, tels que les cristaux et l’atome d’hydrogène, ainsi que trois des quatre forces fondamentales connues dans l’univers, peuvent être modélisés par des groupes de symétrie. Ainsi, la théorie des groupes et la théorie des représentations, qui lui est étroitement liée, ont de nombreuses applications importantes en physique, en chimie et en science des matériaux.

Ce cours a pour but d’introduire des résultats importants et utiles en théorie des groupes et des représentations nécessitant un minimum de connaissances en algèbre linéaire élémentaire. Des applications de ces idées sont présentées dans le contexte de l’interférométrie optique. Les idées développées dans le cours sont utilisées pour introduire le calcul de Weingarten pour obtenir des moments du groupe unitaire, qui trouve des applications dans différents domaines de la physique, notamment la matière condensée, l’optique quantique, l’ information quantique et la physique des hautes énergies.

OĂą et Quand:

11:00-12:30, 18 Janvier a la salle J-1035
14:00-15:30, 20 Janvier a la salle C-632
11:00-12:30, 25 Janvier a la salle B-406
11:00-12:30, 27 Janvier a la salle B-405

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Contenu du cours

Premier cours: Introduction et notions de bases

  1. Introduction et idees de base: - Pourquoi les symetries? Les symmetries forment un groupe.
  2. Notions elementaires pour groupe finis - Qu’est-ce qu’un groupe? Qu’est-ce qu’un sous-groupe? Elements conjugués et classes de conjugaison.
  3. Representations - Qu’est-ce qu’une representation? Examples. Représentations réductibles, indécomposables, irréductibles.
  4. Représentations unitaires et unitarisation.
  5. Nombre de représentations irreductibles. Un théorème d’orthogonalité. Le lemme de Schur.
  6. Les groupes de Pauli

Deuxième cours: les caractères.

  1. Orthogonalité des caractères.
  2. Applications: critère d’irréductibilité. Décomposition des représentations réductibles. 9 . La structure des groupes symétriques (ou de permutations)
  3. Produits directs
  4. Classes des groupes de permutation; diagrammes de Young
  5. Caractères d’un groupe de permutation- La méthode de Frobenius. La méthode de Murnaghan-Nakayama
  6. Représentations du groupe de permutation de N objets- Dimensions et la formule du crochet. Les opérateurs de Young. La méthode de Yamanouchi. La bases des tabloïdes the Young.

Troisieme cours: Les groupes unitaires (continus), l’oscillateur harmonique, et les bosons

  1. Les groupes unitaires et l’oscillateur harmonique Le groupe SU2 et ses représentations;
  2. Parametrisation
  3. Connection avec le moment angulaire
  4. Realisation par polynomes et par operateurs de creation et destruction
  5. Connections avec les diagrammes de Young
  6. Les fonctions D de Wigner
  7. Mesure invariante
  8. Application en interferometrie

Quatrieme course: Le groupe SU3 et ses représentations; SU(n)

  1. Parametrization et factorization L’algebre su(3)
  2. Poids et racines
  3. representations
  4. Mesure invariante pour le groupe SU(3)
  5. Parametrization et factorization de SU(4): representation graphique

Cinquieme cours: La dualite Schur-Weyl

  1. Examples: 2 particles de spin-1/2, n representations fondamentales de U(m).
  2. Dualité des caractères the U(m) et du groupe symétrique. Fonctions de Schur. La formule de Weyl.
  3. La règle de Littlewood-Richardson et la décomposition de produits tensoriels
  4. Les functions de Schur et les coefficients de Littlewood-Richardson
  5. Le pléthysme et les produits symétrisés

Sixième cours: Le calcul de Wiengarten



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